REFLEXIÓN

Durante la clase pasada, trabajamos nuevamente con el turtle art y despejamos algunas dudas que se presentaron al realizar las actividades del manual, particularmente las dudas fueron en la organización de los comandos, como es una herramienta de programación, nos permite hacer diseños con una tortuga la cual se mueve en base a los desplazamientos que se organicen en la secuencia del programa, finalmente este software es útil para aprender mediante prueba – error y que nos permite desarrollar las habilidades metacognitivas al poner en práctica procesos de autocorrección.

            Al pasar a otra actividad, me di cuenta que mi percepción sobre la geometría es tan reducida, que no veo más allá de dos dimensiones, olvidando que existe la geometría elíptica, la hiperbólica y la fractal, en donde esta última, es una figura que me sorprende por la secuencia repetitiva e infinita que se genera con el movimiento hacia el interior de esta imagen fragmentada o irregular a diferentes escalas. El término fractal deriva del latín “fractus” que significa quebrado o fracturado, fue propuesto por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975.

Un objeto geométrico fractal tiene las siguientes características:

·         Es irregular (No puede ser descrito en términos geométricos tradicionales)

·         Es autosimilar (Es echa de copias más pequeñas de la misma figura)

La geometría fractal se encuentra en la naturaleza como: en las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras y en los copos de nieve, estas formas son aproximadas a los fractales ideales que tienen detalles infinitos, en el mundo real tienen límites. Como es el caso del triángulo que realizamos y fuimos dividiendo en triángulos más pequeños, la serie de formas que obtuvimos se aproxima a una representación límite que corresponde a un conjunto fractal tal como lo realizo el matemático Waclaw Sierpinski quien construyo su triángulo y un año después su alfombra.

Construcción de la alfombra de Sierpinski

REFERENCIAS

http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal

http://es.wikipedia.org/wiki/Wac%C5%82aw_Sierpi%C5%84ski

http://www.voki.com/pickup.php?scid=7930384&height=267&width=200

REFLEXIÓN

Me parece interesante el hexágono que realizamos en clase y la forma tan particular que tiene al girar esta figura plana e ir cambiando su posición sin perder su forma, de igual manera al ver el video y la forma tan practica en que realizan los polígonos de papel tomando una tira, y poder hacer esta encantadora forma geométrica que se puede girar completamente, dicha demostración de movimiento queda clara al ir pintando los lados del polígono, de igual forma al realiza las dos tiras de Moebius, una se unió haciendo coincidir los lados y sentido, en la otra tira se hizo un giro para posteriormente unir esta, se trazo una línea recta en el interior de la tiras unidas para poder ver que en la que se unió sin girar la tira la línea queda perfectamente bien definida en el interior de esta y en la que se unión con un giro, al trazar la línea, esta se prolonga por todo el largo de dicha tira, lo interesante de esto fue, que al dividir a estas tiras por la línea que trazamos una quedo dividida en dos partes y la otra se dividió en una tira mas grande, por el giro que se le realizo antes de unirla, al escuchar la anécdota de Dido, de cómo abarco la mayor extensión posible de tierra al cortar en pequeñas tiras el interior de la piel, me sorprendió mucho,  el poder demostrar en la clase este hecho con la hoja de papel, fue aun más interesante.

En la actividad en que los compañeros se ataron, fue una dinámica de razonamiento lógico, que realmente demuestra como hay soluciones aparentemente tan simples, pero que conlleva a tener una visión más allá del problema, adentrarnos un poco en la topología matemática sobre la las soluciones posible o a las demostraciones sobre problemas que parten de una deducción y que es llamada teoría de nudos, otro de los puntos interesantes, fue aprender sobre el planteamiento y la posible solución de los puentes de Konigsberg tal como lo realizo Euler en sus estudios.

Finalmente conocer un nuevo software, aplicado directamente a la geometría, tan sencillo y que como todo relacionado a la tecnología es cuestión de práctica, me permite tener más herramientas enfocadas con las TIC para tener clases más interactivas ante grupo y poder dar un enfoque más atractivo de las matemáticas para los alumnos, me parece interesante, solo queda practicar más, para poder diseñar actividades enfocadas en las clases y poder obtener una motivación y resultados de aprendizaje significativos.

QUINTO POSTULADO

http://www.glogster.com/geomate/el-quinto-postulado/g-6krhupa6rk2uoqiphvb8ta0

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

 

Las transformaciones geométricas son llamadas también operaciones o movimientos, que nos permiten crear otra figura homologa o congruente a la original, estas transformaciones también se conocen como isometrías (iso significa “igual” y metría significa “medida”).

Para realizar las transformaciones geométricas utilizamos el software Geo Gebra, ya que nos permite realizar actividades más completas en cuanto a movimiento, color, forma y poder publicar nuestros trabajos como los que realizamos sobre reflexión, traslación, homotecia y rotación.

La reflexión es voltear una imagen con respecto a una línea, lo que nos indica que la figura poligonal en ambos lados de la línea de reflexión siempre va a coincidir sus pontos o vértices, así como sus lados los que se ven en sentido opuesto pero siempre son iguales, en una reflexión se conservan:

•         Longitudes
•          Ángulos
•          Áreas
•          formas
•          Los vértices de una figura y de su figura imagen están en sentido contrario

La traslación es mover sin girar, ni cambiar el tamaño, solo mover a la figura poligonal de un plano a otro, otra forma de verlo es de un punto a otro, estas figuras no giran en ningún sentido o dirección, no cambian de tamaño o forma, solo se mueven, en una traslación se conservan:

•          La orientación
•          Las longitudes
•          Los ángulos
•          Los puntos medios de los segmentos
•          Las áreas
•          Dos rectas perpendiculares tendrán como imagen otras dos rectas perpendiculares

La homotecia hace referencia a que una figura poligonal se hace más grande o más pequeña pero es siempre semejante, para la homotecia es necesario tener un punto fijo desde donde se realizara la homotecia y que se llama centro de la transformación, también se necesita un factor escalar por el cual se multiplicaran las distancias, algunas de las propiedades de la homotecia son:

·         el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados.

·         La imagen de una línea es otra línea paralela a la original.

·         el paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas.

·         los ángulos orientados son conservados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.

·         k = - 1 corresponde a la simetría de centro C que es la rotación alrededor de C de ángulo π radianes (180º).

·         |k| > 1 implica una ampliación de la figura.

·         |k| < 1 implica una reducción.

·         k < 0, la homotecia se puede expresara como la composición de una simetría con una homotecia de razón |k|, ambas de igual centro. que la homotecia original.

La rotación de una figura poligonal es girar alrededor de un punto llamado centro de rotación, sin cambiar de tamaño, pero si cambia su orientación y posición con respecto a su centro de rotación, algunas de las propiedades son:

·         La medida de cuanto giramos es el ángulo de rotación

·         Si la rotación se hace en sentido contrario a las manecillas del reloj, el ángulo de rotación es positivo

·         Si la rotación se hace en sentido a las manecillas del reloj, el ángulo de rotación es negativo

·         Al hacer una rotación de 360°, volvemos a la posición de la figura original

Para concluir, las transformaciones se clasifican de acuerdo con la forma del polígono homologo con respecto al original en:

•        Isométricas (iso “igual” y métria “medida”).- el polígono homologo conserva las dimensiones y ángulos, estos son la reflexión, rotación y traslación.
•   Isomórficas (iso “igual” y mórfos “forma”).- el polígono homologo conserva la forma y los ángulos, existe proporcionalidad entre las dimensiones del polígono homologo con el original, una de ellas es la homotecia.

RAZÓN DORADA

La razón dorada se trata de un número algebraico con decimales infinitos no periódicos y por lo tanto se le considera como un número irracional (1.6180339887488948……), el cual posee muchas propiedades y fue descubierto en la antigüedad como una relación de medida o proporción de un segmento de recta, lo que pude comprobar en clase y es sorprendente la relación que existe entre dos medidas y como están en proporción una con otra, me parece interesante como realizamos el compás dorado, partiendo de un segmento dado y realizando un triángulo para obtener una medida y lograr el punto de unión entre las dos reglillas y poder conseguir el compás. Las distancias que obtuvimos al medir nuestros rostros, cuerpo, calculadora, etc. y poder ver la relación de distancia que hay en cada cosa, es realmente extraordinario y nunca hubiera considerado que existiera tal relación y que este utensilio esta directamente ligado al la razón dorada de una forma práctica sin tomar en cuenta el algoritmo matemático que se defina en dicha razón o también llamada razón extrema y media, razón áurea, media áurea, proporción áurea y divina proporción, está es representada por la letra griega minúscula “φ” (fi) o mayúscula ϕ, y se llamo así en honor al escultor Fidias quien fue considerado el más famoso de los escultores de la antigua Grecia además de tener experiencia en grabado, repujado, y pintura.

El número áureo lo podemos encontrar en la naturaleza y lo podemos ver en la disposición de los pétalos en las flores, la cantidad de espirales de una piña, la distancia entre el ombligo y la planta de los pies de una persona con relación a su altura, en las espirales del interior de un caracol, en un girasol etc. al realizar una espiral del numero áureo o número de fibonacci, en Geo Gebra fue realmente fácil y me pude dar cuenta que esta relación es infinita y el área de los cuadrados que trazamos para realizar esta espiral es cada vez mayor, al terminar esta espiral la podemos utilizar para determinar la razón dorada en imagines u objetos.

REFLEXIÓN

Me es interesante en la clase y algo que me agrada, son las actividades que realizamos con respecto a cada tema y esa forma práctica de ver la geometría, al realizar el compás dorado es interesante como a partir de una unidad de medida es posible calcular esta razón en un punto de unión entre dos reglillas y obtener así este instrumento de medida con una aplicación práctica, que permite ver la relación de distancia en un objeto o una imagen, se puede comprobar la relación de medida entre la distancia que hay del ombligo hacia la cabeza y del ombligo hacia la planta de los pies de una persona con relación al compás dorado. Al ver la relación del compás con la espiral de Fibonacci, me queda claro que esta espiral tiene propiedades interesantes y que se encuentra en la naturaleza pero que pasa desapercibida a nuestro ojos.

Otra de las actividades que es muy interesante, fue como realizamos la espiral de forma rápida y fácil considerando que esto nos lo permite el software del Geo Gebra, pero nos permite ver el proceso para realizar dicha espiral la cual es infinita y tan perfecta ya que parte de la formación de puros cuadrados en sentido anti horario, y al igual que el compás esta espiral nos permite ver la razón dorada en la cara de las persona, en la catedral de puebla, el Partenón, etc. muy interesante.

El manejo del Geo Gebra en cada clase va siendo más interesante, ya que las actividades que realizamos son más completas en cuanto a movimiento, color, forma y la publicación, al conceptualizar reflexión, rotación, traslación y homotecia con el Geo Gebra es una nueva forma de ver el aprendizaje, ya que es más claro ver estos conceptos de forma dimensional y con movimiento, que solo leer una definición o ver solo una imagen, esta herramienta nos permite  descubrir otra forma de aprender geometría.